高中数学解题中向量的有效运用

　　长期以来，高中学生面对大量的习题，一些学生在解题时往往没有头绪，不知从何下手.向量是高中数学教学的一部分，也是重要内容之一.在高中代数、几何及三角函数中都得到了广泛应用.尤其随着新课程的不断改革，学生学习时不仅要掌握一章的相关知识，而且需要建立章节之间的联系，灵活运用各章知识.为此，必须加强向量在高中数学解题中的有效运用，提高学生的解题效率，减轻学生的学习压力.
　　一、向量的认识
　　向量早在十九世纪就已经成为物理学家、数学家研究和应用的对象.到了二十世纪，向量被引入数学教学领域.我国于上个世纪九十年代将向量并入了高中数学教学大纲中，成为高中数学教学的重要内容.
　　1.向量是重要的数学应用模型
　　向量中应用V代表集合，V构成了向量的加法运算交换群.V中，向量的数量积运算能够表达出向量的长度，当V中的向量长度有了实际意义后，（V，R）对于向量的实数、加法及向量的乘法运算均构成了线性范畴.它是数学建模中的重要组成部分，同时也是线性代数、抽象代数、泛函分析的重要研究对象.因而，应用向量知识，能够很好地理解泛函分析、线性代数及抽象代数等基本的数学模型.
　　2.向量是连接几何、代数的纽带
　　向量是有向线段，因而可以表示物体的位置；而物体的位置和形状，是几何学的研究对象，因而向量也就可以从几何学的角度来理解.由于向量有长度，因而可以利用其刻画物体的面积、体积、长度等基本的几何度量问题；由于向量具有方向性，因而可以应用向量描述平面、直线等几何对象的位置关系；代数研究中，有关加、减、乘、除的运算，也同样适用于向量的代数运算中，因而向量运算可以解决代数问题.
　　二、向量在高中数学解题中的应用
　　对于高三学生来说，普遍具有一种思想认识，那就是认为时间比较紧，希望自己能够把时间都花在解大量的习题上，对于见过的习题则很少进行思考.这种解题上的误区在于高三学生认为数学解题能力和解题数量成正比例关系，他们解题更多的是为了完成任务，缺少解题中的反思过程.所以在高三数学教学中，要培养学生的独立思考习惯.采取正确的解题技巧可提高他们的解题能力，使其成为学习的主人.
　　1.向量在立体几何中的应用
　　向量在立体几何中应用，与在平面几何中的应用模式一致，但加入了立体几何中的空间想象，使得学生在传统的几何问题处理模式中存在一定的差异，因而，采用向量法能够促使几何问题简化，化繁为简，找到问题答案.
　　例题：在正方体ABCD-A■B■C■D■中，E是DD■的中点.在棱C■D■上是否存在一点F，使B■F∥平面A■BE，证明你的结论.本题可以应用向量法求解.如下图1所示：
　　图1
　　解析：以A为坐标原点，建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B（2，2，0），E（0，2，1），A■（0，0，2），B■（2，0，2），
　　∴■=（-2，2，1），BA■=（-2，0，2）.
　　设面BEA■的法向量为m=（x，y，z），则
　　m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA■=2x，2z=0，取x=1，则z=-1，y=■，∴m=（1，■，-1）.
　　假设在棱C■D■上是存在一点F，使B■F∥平面A■BE，设F（x■，2，2），（0≤x≤2），则■=（x■-2，2，2），则m·■=1×（x■-2）-■×2-（-1）×2=0，解得x■=1，∴当F为C■D■中点时，B■F∥平面A■BE.
　　2.向量在平面几何中的应用
　　（1）利用向量法求出直线方程
　　例如：已知三角形ABC的三个顶点分别为A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），点E、F、D分别是AB，AC，BC的中点，求直线FD、EF、DE的方程.
　　解析：已知三角形三个顶点的坐标，A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），能够得知中点F，D，E的坐标分别为（2，-2），（-1，1），（-3，-1）.设M（x，y）为DE上的一个点，由于■∥■，可以求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.
　　利用向量分析几何元素之间的关系将上述问题转换为共线向量与直线向量的问题，就能够得出EF，FD的直线方程.
　　（2）向量法在不等式中的应用
　　在求解不等式的过程中，可以采用向量法.例如，■±■的结构，可以构造向量的和与差，利用向量的三角不等式|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|求解.
　　例题：证明■+■≥5
　　证明：设■=（x-2），■=（5-x，1），由|■|+|■|≥|■±■|得出■+■≥■，结论■+■≥5.
　　利用向量法求解，比三角代换、两点间的距离公式等都简单，且解法新颖、构思巧妙，同时也可以为学生展示出数学建模的整个过程，即问题-建模-还原，发挥向量的工具性作用.
　　3.向量在三角函数中的应用
　　向量在三角函数中的应用，可以用来证明正余弦的两角和与两角差的问题.例如：证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.
　　证明：设（e■，e■）是平面上的标准正交基，a，b是平面上的单位向量，a与e■的夹角为a，b，与e■的夹角为β，且a>β.向量a在（e■，e■）下的坐标为（cosα，cosβ），向量b在（e■，e■）下的坐标为（cosβ，sinβ），则有|a|=|b|=1.所以■·■=|■|·|■|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

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